Shihni burimin për Transformimi i Furierit në kohë diskrete

Në [[Analiza e Furierit|analizën e Furierit]], '''Transformimi i Furierit në kohë diskrete (TFKD)''' (angl: ''discrete-time Fourier transform (DTFT)'') është një nga format e veçanta të [[Analiza e Furierit|analizës së Furierit]]. Si i tillë, ai transformon një funksion në një funksion tjetër, i cili jep paraqitjen e sinjalit (funksionit) në ''[[fushën e frekuencave]]'', ose thjesht "TFKD", të funksionit origjinal (i cili zakonisht është një funksion në [[fushën kohore]]). Duhet thënë se TFKD kërkon si input (funksion eksitues) një funksion që është [[Sinjali kohor diskret|''diskret'']]. Sinjale te tilla merren duke marre kampione<!--ekstremume, pika ekstreme të funksionit--> nga një funksion i vazhdueshëm në kohë, si p.sh. zëri i një personi.  

Paraqitja e TFKD-së në fushën e frekuencave është gjithmonë një funksion periodik. Meqenëse një periodë e funksionit përmban të gjithë informacionin unik të funksionit, zakonisht thuhet se TFKD-ja është transformimi tek një fushe frekuencash e cila është e fundme (me gjatësinë e një periode), në krahasim me të gjithë vijën reale.

== Përcaktimi==

Po te kemi nje bashkesi diskrete te numrave reale ose komplekese ''':''' <math>x[n], \; n\in\mathbb{Z}</math> ([[Nummri#Numrat e plote |numra të plotë]]), '''transformimi i Furierit në kohë diskrete''' (ose '''TFKD''') i <math>x[n]\,</math> zakonisht shkruhet si''':'''

<math>X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}.</math>

== Lidhja me marrjen e kampioneve të funksionit (samplimin) ==

== Periodiciteti ==

== Transformimi invers ==

Transformimi i meposhtem jep nje sekeuence diskrete ne kohe''':'''

:{|
|<math>x[n]\,</math>
|<math>= \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega</math>
|-
|
|<math>= T \int_{-\frac{1}{2T}}^{\frac{1}{2T}} X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT}\, df.</math>
|}

Integrali eshte mbi nje periode te plote te TFKD, e cila do te thote se kampionet nga  x[n] jane ne te njejten kohe koeficentet e  [[Seritë e Furierit|zgjerimit të serisë së Furierit]] te TFKD. &nbsp; Limitet infinite te integrimit ndryshojne transformimin ne  [[Transformimi i Furierit|tarnsformimin e Furierit me vazhdimësi kohore]], [inversi], i se ciles prodhon nje sekuence impulsesh Diraku.  Pra''':'''

:<math>
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df
&=\int_{-\infty}^\infty \left(T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\ e^{-i 2\pi f T n}\right)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} T\cdot x(nT) \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi f T n}\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - n T).
\end{align}
</math>

== Sekuenca me gjatësi te fundme ==



== Diferenca midis TFKD dhe transformimeve të tjera të Furierit ==

TFKD eshte e kuderta e [[Seritë e Furierit|serive te Furierit]], per vete faktin se kjo e fundit ka nje input periodik te vazhdueshem dhe nje spekter diskret. Aplikimet e dy transformimeve jane shume te ndryshme megjithate.
TDF dhe  TFKD mund te shikohen si rezultatet logjike te aplikimit te transformimit standart te Furierit tek bashkesite me informacione diskrete.  

== Lidhja me transformimin Z ==


== Tabele e transformimeve te Furierit në kohë diskrete ==

Disa çifte transformimesh te zakonshme jepen me poshte. Notacioni i meposhtem aplikohet ''':'''
* <math>n \!</math> eshte nje numer i plote qe paraqet fushen kohore diskrete (kampionet e sinjalit)
* <math>\omega \!</math> eshte nje numer real ne <math>(-\pi,\ \pi)</math>, qe paraqet frekuencen e vazhdueshme kohore (ne radian per kampion).
**Pjesa e transformimit qe ngelet  <math>(|\omega| > \pi \,)</math> jepet nga ''':'''  <math>X(\omega + 2\pi k) = X(\omega)\,</math>
* <math>u[n] \!</math> eshte [[Funksioni shkallë njësi]]
* <math>\operatorname{sinc}(t) \!</math> eshte [[Funksioni sink]] i normalizuar
* <math>\delta (\omega) \!</math> është [[Funksioni delta i Dirakut]]
* <math>\delta [n] \!</math> eshte [[Funksioni Delta|Delta e Kronëkerit]] <math>\delta_{n,0} \!</math>
* <math> \operatorname{rect}(t) </math> është [[Funksioni drejtkëndësh]] për një vlerë reale arbitrare ''t'':
::<math>\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases} </math>
* <math>\operatorname{tri}(t) </math> eshte [[funksioni trekëndësh]] per një vlere reale arbitrare ''t'':
::<math>\operatorname{tri}(t) = \land (t) = 
\begin{cases}
1 + t; & - 1 \leq t \leq 0 \\
1 - t; & 0 < t \leq 1 \\
0 & \mbox{otherwise} 
\end{cases} </math>

{| class="wikitable"
|-
! Fusha kohore <br /> <math> x[n] \, </math>
! Fusha e frekuencave <br /><math>  X(\omega) \, </math>
! Shënime
|-
| <math>\delta [n] \!</math>
| <math>1 \!</math>
| 
|-
| <math>\delta [n - M] \!</math>
| <math>e^{-i \omega M} \!</math>
| numer i plote ''M''
|-
|<math>\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \,</math>
|<math>\sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{1}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left( \frac{\omega}{2\pi} - \frac{k}{M} \right) \,</math>
| numer i plote ''M''
|-
| <math>u[n]\!</math>
| <math>\frac{1}{1-e^{-i \omega}} \!</math>
|
|-
| <math>e^{-ian} \!</math>
| <math> 2\pi \delta (\omega + a)  \, </math>
| numer real ''a''
|-
| <math>\cos (a n) \!</math>
| <math>\pi \left[ \delta (\omega - a) + \delta (\omega + a) \right]</math>
| numer real ''a''
|-
| <math>\sin (a n) \!</math>
| <math>\frac{\pi}{i} \left[ \delta (\omega - a) - \delta ( \omega + a) \right]</math>
| numer real ''a''
|-
| <math> \mathrm{rect} \left[ { ( n - M/2 ) \over M  } \right] </math>
| <math> { \sin[ \omega (M+1) / 2 ] \over \sin( \omega / 2 ) } \,  e^{ -i \omega M / 2 }</math>
| numer i plote ''M''
|-
| <math>\operatorname{sinc} [(a + n)]</math>
| <math>e^{i a \omega} \!</math>
| numer real ''a''
|-
| <math>W\cdot \operatorname{sinc}^2(W n)\,</math>
| <math>\operatorname{tri} \left( { \omega \over 2\pi W } \right)</math>
| numer real ''W''<br /><math>0 < W \le 0.5</math>
|-
| <math>W\cdot \operatorname{sinc} [ W (n + a)]</math>
| <math>\operatorname{rect} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) \cdot e^{j a \omega}</math>
| numer real ''W'', ''a''<br /><math>0 < W \le 1</math>
|-
| <math> 
\begin{cases}
0 & n=0 \\
\frac{(-1)^n}{n} & \mbox{elsewhere}
\end{cases}
</math>
| <math>j \omega</math>
|punon si nje filtër [[diferencues]] 
|-
| <math>\frac{W}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\}</math>
| <math>j \omega \cdot \operatorname{rect} \left( { \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega}</math>
| numra reale ''W'', ''a''<br /><math>0 < W \le 1</math>
|-
| <math>\frac{1}{\pi n^2} [(-1)^n - 1]</math>
| <math>| \omega | \!</math>
|
|-
| <math>
\begin{cases}
0; & n \mbox{ odd} \\
\frac{2}{\pi n} ; & n \mbox{ even}
\end{cases}
</math>
| <math>
\begin{cases}
j & \omega < 0 \\
0 & \omega = 0 \\
-j & \omega > 0
\end{cases}
</math>
|[[Transformimi i Hilbertit]]
|-
| <math>\frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right]</math>
| [[Image:Trapezoid_signal.png|250px]]
| Numra realë ''A'', ''B'' <br /> complex ''C''
|}

==Vetitë==

Kjo tabelë tregon marrëdheniet midis transformimeve të përgjithshme të Furierit në kohë diskrete. 
Në këtë artikull po përdorim notacionin e mëposhtëm:
* <math>*\!</math> është [[konvulimi]] midis dy sinjaleve
* <math>x[n]^*\!</math> është [[numri kompleks i konjuguar]] i funksionit ''x[n]''
* <math>\rho_{xy} [n]\!</math> paraqet [[korrelacionin]] midis ''x[n]'' dhe ''y[n]''.


Kolona e pare paraqet nje përshkrim të vetisë, kolona e dytë tregon funksionin në fushën kohore, dhe kolona e tretë tregon spektrin në fushën e frekuencave:

{| class="wikitable"
|-
! Vetitë
! Fusha kohore <math>x[n] \!</math>
! Fusha e frekuencave <math>X(\omega) \!</math>
! Shënime
|-
| Lineariteti
| <math>a x[n] + b y[n] \!</math>
| <math> a X(e^{i \omega}) + b Y(e^{i \omega}) \!</math>
|
|-
| Zhvendosja në kohë
| <math>x[n - k] \!</math>
| <math>X(e^{i \omega}) e^{-i \omega k} \!</math>
| numer i plote ''k''
|-
| Zhvendosja në frekuencë (modulimi)
| <math>x[n]e^{ian} \!</math>
| <math>X(e^{i (\omega-a)}) \!</math>
| numer real ''a''
|-
| Pasqyrimi kohor
| <math>x[- n] \!</math>
| <math>X(e^{-i \omega}) \!</math> 
|
|-
| Konjugimi kohor
| <math>x[n]^* \!</math>
| <math>X(e^{-i \omega})^* \!</math>
|
|-
| Pasqyrimi kohor & konjugimi
| <math>x[-n]^* \!</math>
| <math>X(e^{i \omega})^* \!</math>
|
|-
| Derivati në frekuencë
| <math>\frac{n}{i} x[n] \!</math>
| <math>\frac{d X(e^{i \omega})}{d \omega} \!</math>  
|
|-
| Integrali në frekuencë
| <math>\frac{i}{n} x[n] \!</math> 
| <math>\int_{-\pi}^{\omega} X(e^{i \vartheta}) d \vartheta \!</math>
|
|-
| Konvulimi në kohë
| <math>x[n] * y[n] \!</math>
| <math>X(e^{i \omega}) \cdot Y(e^{i \omega}) \!</math>
|
|-
| Shumëzimi në kohë
| <math>x[n] \cdot y[n] \!</math>
| <math>\frac{1}{2 \pi} X(e^{i \omega}) * Y(e^{i \omega}) \!</math>
|
|-
| Korrelacioni
| <math>\rho_{xy} [n] = x[-n]^* * y[n] \!</math>
| <math>R_{xy} (\omega) = X(e^{i \omega})^* \cdot Y(e^{i \omega}) \!</math> 
|
|}
== Vetitë simetrike==

Transformimi i Furierit mund të dekompozohet në pjesën reale dhe imagjinare ose në pjesë çift dhe tek.
<br>
<math>X(e^{i \omega}) = X_R(e^{i \omega}) + iX_I(e^{i \omega}) \!</math>
<br>
ose 
<br>
<math>X(e^{i \omega}) = X_E(e^{i \omega}) + X_O(e^{i \omega}) \!</math>
<br>

{| class="wikitable"
|-
!Fusha kohore <br><math>x[n] \!</math>
!Fusha e frekuencave <br><math>X(e^{i \omega}) \!</math>
|-
| <math>x^*[n]\!</math>
| <math>X^*(e^{-i \omega}) \!</math>
|-
| <math>x^*[-n]\!</math>
| <math>X^*(e^{i \omega}) \!</math>

|}

== Shih edhe ==
* [[Transformimi i Furierit]]
*[[transformimi i shpejtë i Furierit|FFT]]

== Referime ==
* {{cite book | author=Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer | title = Discrete-Time Signal Processing | edition = 2nd Edition | publisher = Prentice Hall Signal Processing Series | year = 1999 | id = ISBN 0-13-754920-2}}
* {{cite book | author = William McC. Siebert | title = Circuits, Signals, and Systems | year = 1986 | publisher = MIT Press | location = MIT Electrical Engineering and Computer Science Series.  Cambridge, MA }}
* {{cite book | author = Boaz Porat | title = A Course in Digital Signal Processing | publisher = John Wiley and Sons | id = ISBN 0-471-14961-6 | pages = pp. 27-29 and 104-105 }}


[[Kategori:Matematikë]]
[[Kategoria:Inxhinieri]]
[[Kategoria:Proçesim sinjalesh]]
[[Kategori:Analizë matematike]]