Shihni burimin për Transformimi i Furierit

Në [[Matematika|matematikë]], '''transformimi i Furierit''' është një metodë që [[Transformimi (matematikë)|transformon]] një [[Sinjali|sinjal]] në një [[Vargu|varg numerik]] që tregon frekuencat e pranishme në sinjal. Funksioni i ri, i cili është paraqitja e funksionit në ''[[fushën e frekuencave]]'' e funksionit origjinal, tregon se cila nga frekuencat janë të pranishme në funksionin origjinal. Një analogji e vlefshme është rasti kur njerëzit mund të dëgjojnë se cilat nota luhen kur një violinist luan instrumentin. Pra në thelb, transformimi i Furierit bën dekompozimin e një funksioni në funksione sinusoidale dhe tregon se cila nga këto frekuenca të këtyre sinjaleve është e pranishme në sinjalin që po analizohet.Transformimi i Furierit është shumë i ngjashëm me transformime të tjera në matematikë të cilat së bashku formojnë degën e [[Analiza e Furierit|analizës se Furierit]]. Në ketë rast specifik, fushat e përcaktimit të funksionit origjinal dhe paraqitja në fushën e frekuencave janë kontinuume të vazhdueshme dhe të pa kufizuara. Termi transformimi i Furierit i referohet paraqitjes së funksionit në fushën e frekuencave ose operatorit/formulës që "transformon" një funksion në një tjetër.

E shprehur më formalisht, transformimi i Furierit transformon një funksion me vlerë komplekse të një ndryshoreje [[Numrat realë|reale]] në një funksion tjetër. Transformimi i Furierit është një nga teknikat themelore të [[Analiza e Furierit|analizës së Furierit]]. Kjo teknikë mund të zgjerohet në mënyrë që të përfshijë shumë dimensione. Kjo gjen aplikime direkte në analizimin e imazheve. Aplikimi i transformimit të Furierit tek sinjalet digjitale,çoi në zbulimin e një metode tepër të shpejtë për llogaritjen e tij, e njohur si [[transformimi i shpejtë i Furierit]].

== Përcaktimi ==
Ka disa konvencione të ndryshme për përcaktimin e transformimit të Furierit të një funksioni të [[Integrali i Lebesgut|integrueshëm]]''f''&nbsp;:'''R'''→'''C''' . Ky artikull përdor përcaktimin :
:<math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx, </math> &nbsp; per cdo [[Numri natyral|numër real]] ''ξ''.

Kur ndryshorja e pavarur ''x'' paraqet ''kohën'' (me njësi [[SI]] në [[sekonda]]), ndryshorja e transformimit ''ξ''&nbsp; paraqet [[frekuenca|frekuencën]] (në [[Hertz|herc]]). Në raste të favorshme, ''f'' mund te rindërtohet <math>\hat f</math> nga '''transformimi i anasjelltë''':

:<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi,</math> &nbsp; për çdo numer real ''x''.

Për konvencione të tjera të përdorura shikoni seksionet më poshtë.

== Paraqitje e përgjithshme ==
{{main|Analiza e Furierit}}

Në studimin e serive të Furierit funksione të komplikuara shkruhen si shuma e funksioneve të thjeshta [[Vala sinusoidale|sinusoidale]] dhe kosinusoidale. Vetitë e këtyre funksioneve elementare bëjnë të mundur që të shprehim "sasinë" e këtye valëve në funksionin aktual përmes një integrali.  Në shumë raste është e dëshirueshme që të përdorim [[Formula e Ojlerit|formulën e Ojlerit]], e cila pohon se ''e''<sup>2''πiθ''</sup>&nbsp;=&nbsp;cos&nbsp;2''πθ''&nbsp;+&nbsp;''i''&nbsp;sin&nbsp;2''πθ'', në mënyrë që ti shkrujamë seritë e Furierit në terma të këtyre valëve elementare ''e''<sup>2''πiθ''</sup>. 
Seritë e Furierit mund të përdoren për të arritur tek transformimi i Furierit në mënyrën e mëposhtme. Supozoni se ''ƒ'' është një funksion i cili është zero jashtë një intervali të caktuar [−''L''/2,&nbsp;''L''/2]. Atëherë për çdo ''T''&nbsp;≥&nbsp;''L'' mund ta zgjerojmë ''ƒ'' në një seri Furieri në intervalin [−T/2,T/2], ku "shuma" (e dhene nga ''c''<sub>''n''</sub>) e valës ''e''<sup>2''πinx/T''</sup> në serinë e Furierit të ''ƒ'' jepet nga

:<math>\hat{f}(n/T)=c_n=\int_{-T/2}^{T/2} e^{-2\pi i nx/T}f(x)\,dx</math>

dhe ''ƒ'' duhet të jepet nga formula

:<math>f(x)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n/T) e^{2\pi i nx/T}.</math>

Po të lëmë ''ξ''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''n''/''T'', dhe të lemë Δ''ξ''&nbsp;=&nbsp;(''n''&nbsp;+&nbsp;1)/''T''&nbsp;−&nbsp;''n''/''T''&nbsp;=&nbsp;1/''T'', atëhere kjo shuma e fundit kthehet ne një shumë Rimaniane

:<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n/T) e^{2\pi i x\xi_n}\Delta\xi.</math>

Duke lënë ''T''&nbsp;→&nbsp;∞ shuma e Rimanit konvergon tek integrali i transformimit të anasjelltë të Furierit i dhënë tek seksioni i përcaktimit.  Nën situata të caktuara ky argument jepet në mënyrë preçize.  Pra si në rastin e serive te Furierit, transformimi i Furierit mund të mendohet si një funksion që mat sa shumë prej cdo frekuence individuale është e pranishme tek funksioni jonë, rikombinimi i këtyre valëve duke përdorur një integral riprodhon funksionin origjinal.

Figurat e mëposhtme japin një ilustrim sesi transformimi i Furierit matet nëqoftëse frekuenca është e pranishme në një funksion të caktuar. Funksioni i paraqitur <math>f(t)=\cos(6\pi t)e^{-\pi t^2}</math> oshilon me 3 herc (nqs t matet në sekonda) dhe arrin shumë shpejt tek vlera 0. Ky funksion është zgjedhur specifikisht që të ketë një transformim real të Furierit i cili mund të vizatohet. Figura e parë përmban grafin e funksionit. Në mënyrë që të llogarisim <math>\hat{f}(3)</math>
duhet të integrojmë ''e''<sup>−2''πi(''3''t'')</sup>''ƒ''(''t''). Figura e dytë tregon grafet e pjesëve reale dhe imagjinare të funksionit.  Pjesa reale e integrantit është pothuajse gjithmonë pozitive, kjo ndodh sepse kur ''ƒ'' është negative ''e''<sup>−2''πi(''3''t'')</sup> është negative gjithashtu.  Meqenëse ato oshilojnë me të njëjtën shpejtësi kur ''ƒ'' është pozitive, ashtu eshtë edhe ''e''<sup>−2''πi(''3''t'')</sup>.  Rezultati është që kur behet integrimi i pjesës reale te integrandit merret një numër relativisht i madh (0.5 në këtë rast). Nga ana tjetër, kur përpiqemi të matim një frekuencë q nuk është e pranishme, si në rastin kur shikojmë <math>\hat{f}(5)</math>, integranti oshilon në mënyrë që vlera e integralit të jete shumë e vogël.  Situata e përgjithshme është pak më e komplikuar, por në përgjithësi ky shembull tregon mënyrën se si transformimi i Furierit mat prezencën e një frekuence të caktuar në një funksion ''ƒ''(''t'').
<gallery>
Image:Function.png|Funksioni origjinal tergon një oshilim me 3 herc.
Image:Onfreq.svg | Pjesa reale dhe imagjinare e integrantit te transformimit të Furierit në 3 herc
Image:Offfreq.svg| Pjesa reale dhe imagjinare e integrantit te transformimit të Furierit në 5 herc
Image:Transformimi i Furierit për funksionin oshilues.svg| Transformimi i Furierit i emëruar për rastet me 3 dhe 5 herc.
</gallery>

== Vetitë e transformimit të Furierit ==
=== Vetitë themelore ===

Le të marrim funksionet e integrueshme ''f''(''x''), ''g''(''x''), dhe ''h''(''x'') , gjithashtu le të quajmë transformimet e Furierit të tyre me  <math>\hat{f}(\xi)</math>, <math>\hat{g}(\xi)</math>, dhe <math>\hat{h}(\xi)</math> respektivisht.  Transformimi i Furierit ka vetitë e mëposhtme themelore {{harv|Pinsky|2002}}.

; Lineariteti
: për çdo [[Numri kompleks|numër kompleks]] ''a'' dhe ''b'', nëqoftëse ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''aƒ''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''bg''(''x''), atëherë <math>\hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi).</math>
; Zhvendosja
: Për çdo [[Numri real|numër real]] ''x''<sub>0</sub>, nëqoftëse ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''x''&nbsp;−&nbsp;''x''<sub>0</sub>), atëherë <math>\hat{h}(\xi)= e^{-2\pi i x_0\xi }\hat{f}(\xi).</math>
; Modulimi
: Për çdo [[Numri real|numër real]] ''ξ''<sub>0</sub>, nëqoftëse ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>2''πixξ''<sub><small>0</small></sub></sup>''ƒ''(''x''), atëherë  <math>\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0})</math>.
; Përshkallimi
: Për çdo [[Numri real|numër real]] jo-zero ''a'', nëqoftëse ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''ax''), atëherë  <math>\hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  Për rastin ''a''&nbsp;=&nbsp;−1 kjo çon tek vetia e ''rikthimit-kohor'', e cila pohon se: nëqoftëse ''h''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(−''x''), atëherë  <math>\hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi)</math>.
; Konjugimi
: Nëqoftëse <math>h(x)=\overline{f(x)}</math>, atëherë  <math>\hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.</math>
:Ne veçanti, nëqoftëse ''ƒ'' është reale, atëherë kemi ''konditën reale''  <math>\hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}.</math>
:Dhe nëqoftëse ''ƒ'' numri është imagjinar, atëhere  <math>\hat{f}(-\xi)=-\overline{\hat{f}(\xi)}.</math>
; Konvulimi
: Nëqoftëse <math>h(x)=\left(f*g\right)(x)</math>, atëhere   <math> \hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi).</math>

=== Teorema e Plansharelit dhe teorema e Parsevalit ===
Le të jenë ''f''(''x'') dhe ''g''(''x'') funskione të integrueshme, dhe le të jenë <math>\hat{f}(\xi)</math> dhe <math>\hat{g}(\xi)</math> transformimet e tyre të Furierit.  Nqs ''f''(''x'') dhe ''g''(''x'') janë të [[integrueshme në katror]], atëhere kemi [[Teorema e Parsevalit|Teoremën e Parsevalit]] {{harv|Rudin|1987|loc=p. 187}}''':'''

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi) \overline{\hat{g}(\xi)} \, d\xi,</math>

ku viza mbi tregon [[konjugimin kompleks]]. 

[[Teorema e Plansharelit]], e cila është ekuivalente me [[teoremën e Parsevalit]], pohon se {{harv|Rudin|1987|loc=p. 186}}''':'''

:<math>\int_{-\infty}^\infty \left| f(x) \right|^2\, dx = \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{f}(\xi) \right|^2\, d\xi. </math>

Teorema e Plansharelit bën të mundur të përcaktojmë transformimin e Furierit për funksione në ''L''<sup>2</sup>('''R'''), siç përshkruhet tek [[Transformimi i Furierit#Përgjithësime|përgjithësimet]] më poshtë. Teorema e Plansharelit pohon se trasformimi i Furierit ruan energjinë e madhësisë origjinale të transformuar. Duhet të theksohet se në varësi të autorit këto teorema mund ti gjeni të referuara si teorema e Plansharelit ose si ajo e  Parsevalit.  

Shikoni artikullin mbi [[Dualiteti i Pontryagin|dualitetin e Pontryaginit]] për një formulim të përgjithshëm të këtij koncepti në kontekstin e grupeve lokale kompakte abeliane.

=== Formula e mbledhjes e Puasonit ===

[[Formula e mbledhjes e Puasonit]] jep një lidhje midis transformimit të Furierit dhe serive të Furierit. Po të kemi një funksion të integrueshëm  ''ƒ'' mund të konsiderojmë periodizimin e ''ƒ'' të dhënë nga : 

:<math>\bar f(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} f(x+k),</math>

ku shuma merret mbi të gjithë bashkësine e [[Numri i plotë|numrave të plote]] ''k''. Formula e mbledhjes e Puasonit lidh seritë e Furierit me <math>\bar f</math> transformimin e Furierit të ''ƒ''.  Specifikisht ajo pohon se seritë e Furierit të <math>\bar f</math> janë të dhëna nga:

:<math>\bar f(x) \sim \sum_{k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k)e^{2\pi i k x}.</math>

=== Teorema e konvulimit ===
===Teoreme e ndër-korelacionit===
=== Ajgenfunksionet ===

== Transformimi i Furierit në hapësirën Euklidiane ==
Transformimi  i Furierit mund të ekzistojë në çdo numër arbitrar dimensionesh ''n''. Ashtu si në rastin një dimensional ka shumë konvencione, për një funksion të integrueshëm ''ƒ''('' x'') ky artikull adapton përkufizim''':'''

::<math>\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}(f)(\xi) = \int_{\R^n} f(x) e^{-2\pi i x\cdot\xi} \, dx</math> 

ku ''x'' dhe ''ξ'' jane  [[vektori (matematikë)|vektorë]] ''n''-përmasorë, dhe {{nowrap|''x'' '''·''' ''ξ''}} është [[prodhimi i brendshëm]] i vektorëve. Prodhimi i brendshëm shkruhet ndonjëherë si <math>\left\langle x,\xi \right\rangle</math>.

Të gjitha të vetite bazë të përmendur më sipër jane te vlefshme për  transformimin e Furierit ''n''-permasor, e njejta gje mund te thuhet per teoremen e Plansharelit dhe teoremen e Parsevalit. Kur funksioni është i integrueshem, transformimi i Furierit eshte i vazhdueshëm dhe ende uniform lema Riemann-Lebesgue mban. {{harv|Stein|Weiss|1971}}

=== Parim i papërcaktueshmërisë ===
Në përgjithësi, sa më i përqëndruar te jete ''f''('' x''), aq më e përhapur është transformimi i Furierit <math>\hat{f}(\xi)</math> . Në veçanti, vetia e shkallëzimit të transformimit të Furierit mund të shihet si më poshtë: nëse ne "shtrydh" një funksion në përmasën ''x'', transformimi i Furierit tij "zgjerohet" në''ξ''. Nuk është e mundur që të përqëndrohemi në mënyrë arbitrare si tek një funksion ashtu edhe tek transformimi i Furierit i tij.

Shkëmbimi midis kompaktifikimit te nje funksionit dhe transformimi te Furierit te tij mund të formalizohet në formën e një ''parimi te papërcaktueshmërisë''', dhe formalizohet duke e shikuar një funksion dhe transformimin e Furierit te tij si [[variabla te konjuguara]] në lidhje me [[formen simplektike]] në [[Paraqitje kohë-frekuencë|fushën kohë-frekuencë]]: nga pikëpamja e [[transformimeve lineare kanonike]], transformimi i Furierit eshte nje rotullim me 90 ° ne fushen kohe-frekuencë, dhe si e tillë ruan formën simplektike.

Supozoni se funksion ''ƒ''('' x'') është i integrueshem dhe  [[i integrueshem ne katror]]. Pa humbje te përgjithshme, supozojmë se ''ƒ''('' x'') është i normalizuar:

:<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,dx=1.</math>

Nga [[teorema e Plansherelit]] del që <math>\hat{f}(\xi)</math>  është e normalizuar gjithashtu.

Zgjerimi rreth 'x''&nbsp;= 0, mund të matet me ''dispersionin rreth zero'' {{harv|Pinsky|2002}} përcaktuar nga

:<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx.</math>

Në terma probabiliteti, kjo është  [[momenti (matematikë)|momenti i dytë]] i <math>|f(x)|^2\,\!</math> rreth zero.

Parimi i papërcaktueshmërisë thekson se, në qoftë se ''ƒ''('' x'') është absolutisht i vazhdueshëm dhe funksionet ''x''·''ƒ''(''x'') dhe ''ƒ''′(''x'') janë te integrueshme ne katror, atëherë

:<math>D_0(f)D_0(\hat{f}) \geq \frac{1}{16\pi^2}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{harv|Pinsky|2002}}.

Barazisë është arritur vetëm në rastin <math>f(x)=C_1 \, e^{{- \pi x^2}/{\sigma^2}}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; (hence&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\quad \hat{f}(\xi)= \sigma C_1 \, e^{-\pi\sigma^2\xi^2}</math>&nbsp;&nbsp;)&nbsp; , ku ''σ''&nbsp;> 0 është arbitrare dhe ''C''<sub>1</sub> është e tillë që ''ƒ'' është 'L''<sup>2</sup> - e normalizuar {{harv|Pinsky|2002}} Me fjalë të tjera, ku''ƒ''është një [[funksion Gaussian]] i (normalizuar) , i përqendruar në zero.

Në fakt, kjo pabarazi nënkupton se:

: <math>\left(\int_{-\infty}^\infty (x-x_0)^2|f(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty(\xi-\xi_0)^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)\geq \frac{1}{16\pi^2}</math>

për çdo <math>x_0, \, \xi_0</math>&nbsp; në '''R'''&nbsp; {{harv|Stein|Shakarchi|2003}}.

Në [[Mekanika kuantike|mekanikën kuantike]], [[funksionet valore]] te [[momentit]] dhe [[pozicionit]] janë transformimet Furieri çifte, brenda një faktor të [[Konstantja e Plankut|konstantes se Planckut]]. Me këtë konstante të marrë në konsideratë siç duhet, pabarazia më lart bëhet teorema e [[Parimi i papërcaktueshmërisë|parimit të papërcaktueshmërisë e Heisenbergut]] ({{harv|Stein|Shakarchi|2003}}.

=== Harmonikat sferike ===

=== Problemet e kufizimit ===

== Përgjithësime ==
=== Transformimi i Furierit ne hapesira te tjera funksionesh ===
===Transformimi Furier-Stieltjes=== 
=== Grupe abeliane me kompaktesi lokale ===
===Hapesira lokale kompakte e Hausdorfit===
=== Grupet jo-abeliane ===

== Alternativat ==
Në terminologjinë e [[Përpunimi i sinjaleve|përpunimit të sinjaleve]] , një funksion (kohor) është një përfaqësim i një sinjali me ''rezolucion të përsosur kohor,''por pa informacion të frekuencave, ndërsa transformimi i Furierit ka ''rezolucion të përkryer të frekuencave,'' por nuk ka informacion kohor: madhësia e transformimit te Furierit në një pikë është se sa shumë përmbajtje frekuencash ka, por pozicioni është i dhënë vetëm nga faza (argumenti i transformimit te Furierit në një pikë), dhe valët qendruese nuk janë të lokalizuara në kohë - një valë sinusoidale vazhdon në pafundësi, pa u zvogëluar ne amplitude. Kjo kufizon dobine e transformimit te Furierit për të analizuar sinjalet që janë të lokalizuar në kohë, sidomos  [[Tranzientët (akustikë)|tranzientet]], apo ndonjë sinjal me interval të fundëm.

Si alternativa të transformimit te Furierit , në analizën [[kohore të frekuencave]], përdoren [[transformime kohë-frekuencë]]  për të përfaqësuar sinjale në një formë që ka disa të dhëna në fushën kohore dhe disa informacione të frekuencave - nga parimi i papërcaktueshmersie. Këto transformime janë përgjithësimet te transformimit te Furierit , të tilla si [[transformimi i Furierit në kohë të shkurtër]]  ose [[transformimi fraksional i Furierit]] , ose mund të përdorni funksione të ndryshme për të përfaqësuar sinjale, si [[valëzat]] dhe [[shndërrimet çirplet]], për valëzat analogja me transformimin e (vazhdueshëm) të Furierit është [[transformimi i vazhdueshëm i valëzave]].
== Aplikimet ==
=== Analiza e ekuacioneve diferenciale ===

=== NMR, FT-IR dhe MRI ===


== Konvencione te tjera ==

Ekzistojne tre konvencione te zakonshme per percaktimin e transformimit te Furierit. Transformimi i Furierit zakonisht shkruhet ne terma te [[frekuenca këndore|frekuencës këndore]]''':''' &nbsp; ''ω'' = ''2πξ'' njesite e se ciles jane [[radiani|radian]] per sekonda.

Zevendesimi ''ξ'' = ''ω''/(2π) ne formulen me lart jep konvencionin ''':'''

:<math>\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx </math>

Nen kete konvencion, transformimi invers behet:

:<math>f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega)e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega. </math>

Ne ndryshim nga konvencioni i perdorur ne kete artikull , kur transformimi i Furierit percaktohet ne kete menyre nuk eshte me e mundur te paraqitet si nje [[transformim unitar]] ne ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>n</sup>).  Gjithashtu ka me pak simetri midis formules se transformimit dhe inversit te saj.

Nje sistem tjeter percaktimi eshte kur ndajme faktorin (2''π'')<sup>''n''</sup> ne menyre te njejte midis transformimit te Furirit dhe incversit te tij , gje e cila jep percaktimin ''':'''

:<math> \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx </math>

:<math>f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega. </math> 

Nen kete konvencion transfomimi i Furierit eshte prape nje transformim [[Operator unitar|'''unitar''']] ne ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>).  Kjo rikthen simetrine midis transformimit te Furierit dhe inversit te tija.  


{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="12"  
|+ '''Nje permbledhje e formave popullore per transfomimin e Furierit'''
|-
| align="center" style="color: darkred"| '''<br /> Frekuenca<br /> e zakonshme ''ξ'' <br /> (hertz)
| align="center" style="color: darkblue" | '''Unitare'''
|  <math> \hat{f}_1(\xi)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\xi}\, dx = \hat{f}_2(2 \pi \xi)=(2 \pi)^{n/2}\hat{f}_3(2 \pi \xi) </math><br />
<math> f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}_1(\xi) e^{2 \pi i  x\cdot \xi}\, d\xi \ </math>
|-
| rowspan="2" align="center" style="color: darkred"| '''<br /> Frekuenca <br /> kendore <math> \omega \, </math> <br />(rad/s)
| align="center" style="color: darkblue" | '''Jo-unitare'''
| <math> \hat{f}_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x} \, dx \ = \hat{f}_1 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) = (2 \pi)^{n/2}\ \hat{f}_3(\omega) </math> <br />
<math> f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}_2(\omega) e^{i \omega\cdot x} \, d \omega \ </math>
|-
| align="center" style="color: darkblue" | '''Unitare'''
| <math> \hat{f}_3(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \ e^{-i \omega\cdot x}\, dx = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_1\left(\frac{\omega}{2 \pi} \right) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_2(\omega) </math> <br />
<math> f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}_3(\omega)e^{i \omega\cdot x}\, d \omega \ </math>
|}

== Tabela me transformime te rendesishme te Furierit ==
Tabelat e meposhtme japin disa nga format e mbyllura te transformimit te Furierit. Per funksionet ''ƒ''(''x'') , ''g''(''x'') dhe ''h''(''x'') transformimet e Furirit jane te dhena nga  <math>\hat{f}</math>, <math>\hat{g}</math>, dhe <math>\hat{h}</math> respektivisht. Vetem tre konvencionet me te zakonshme jane te perfshira.


=== Funksione, katrori i se cilave eshgte i integrueshem ===

{| class="wikitable"
! !! Funksioni !! Transformimi i Furierit <br /> unitar, Frekuenca kendore !! Transformimi i Furierit <br /> unitar, frekuenca e zakonshme !! Transformimi i Furierit <br /> jo-unitar, Frekuenca kendore!! Shenime
|-
|
|align="center"|<math> f(x)</math>
|align="center"|<math> \hat{f}(\xi)=</math>
<math>\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx</math>
|align="center"|<math> \hat{f}(\omega)=</math>
<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx</math>
|align="center"|<math> \hat{f}(\nu)=</math>
<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx</math>
|
|-
| 201
|<math>\operatorname{rect}(a x) \,</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right)</math>
|[[Funksioni drejtkendesh|Pulsi rektangular]] dhe [[Funksioni sink]] i normalizuar, i percaktuar ketu si sinc(''x'') = sin(''πx'')/(''πx'')
|-
| 202
|<math> \operatorname{sinc}(a x)\,</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right)</math>
|Duali i rregullit 201. [[Funksioni drejtkendesh]] eshte nje [[filter i frekuencave te ulta]], dhe [[funksioni sink]] eshte pergjigjja impulsive [[jokauzale]] e nje filteri te tille.
|-
| 203
|<math> \operatorname{sinc}^2 (a x)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
| Funksioni tri(''x'') eshte [[funksioni trekendesh]]
|-
| 204
|<math> \operatorname{tri} (a x)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \,</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math>\frac{1}{|a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) </math>
| Ligji dual i rregullit 203.
|-
| 205
|<math> e^{- a x} u(x) \,</math>
|<math>\frac{1}{a + 2 \pi i \xi}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}</math>
|<math>\frac{1}{a + i \nu}</math>
|Funksioni ''u''(''x'') eshte [[Funksioni shkalle Heaviside]] dhe  ''a''&gt;0.
|-
| 206
|<math>e^{-\alpha x^2}\,</math>
|<math>\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|<math>\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}}</math>
|Kjo tregon se , per transfromimet unitare te Furierit, [[Funksioni Gausian]] exp(−''αx''<sup>2</sup>) eshte transformimi i Furierit i vetvetes per nje zgjedhje te ''α''. Per kete qe te jete e integrueshme duhet te kemi Re(''α'')&gt;0.
|-
| 207
|<math>\operatorname{e}^{-a|x|} \,</math>
|<math> \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} </math>
|<math> \frac{2a}{a^2 + \nu^2} </math>
|Per ''a>0''.
|-
| 208
|<math> \frac{J_n (x)}{x} \,</math>
|<math> \frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi \xi)\,</math><br />
&nbsp; <math>\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}  \operatorname{rect}( \pi \xi ) </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,</math><br />
&nbsp; <math>\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right) </math>
|<math> \frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\nu)\,</math><br />
&nbsp; <math>\cdot \ \sqrt{1 - \nu^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\nu}{2} \right) </math>
| The functions ''J<sub>n</sub>'' (''x'') are the ''n''-th order Bessel functions of the first kind.  The functions ''U<sub>n</sub>'' (''x'') jane [[Polinomet e Çebishevit|Polinomet e Çebishevit te rendit te dyte]].  Shiko 315 dhe 316 poshte.
|-
| 209
|<math>\operatorname{sech}(a x) \,</math>
|<math>\frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right)</math>
|<math>\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|<math>\frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)</math>
|[[Funksionet hiperbolike|Sekanti hiperbolik]] eshte transformimi i Furierit i vetvetes
|}

== Shih edhe ==
* [[Transformimi i Furierit në kohë diskrete]]

== Lidhje te jashtme ==
* [http://www.allmathcad.com Всё о Mathcad] {{ref-ru}}
* [http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/Fourier.htm Fourier Series Applet] (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form). 
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* {{MathWorld | urlname= FourierTransform | title= Fourier Transform}}
* [https://web.archive.org/web/20090312091304/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/FourierTransformMod.html Fourier Transform Module by John H. Mathews]
* [http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/ The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day] at The DSP Dimension

[[Kategoria:Analizë matematike]]
[[Kategoria:Matematikë]]