Shihni burimin për Teorema e kosinusit

[[Image:Triangle with notations 2.svg|thumb|250px|right]]Teorema e Pitagores mesohet qe ne shkolle fillore.Ajo eshte e thjeshte per t'u mesuar por nga  rendesia eshte e jashtezakonshme.Teoremae Pitagores përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit të ç'farëdoshëm. Ajo është përgjithësim i teoremës së famshme të [[Pitagora|Pitagorës]] e cila vlen për trekëndëshin këndrejt. Teorema  njihet edhe me emrin "Teorema e Al-Kashit" dhe me fjalë ajo mund të formulohet si vijon:

Te çdo trekëndësh katrori i çdo brinje është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve tjera i zvogëluar për dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit përballë asaj brinje.

::<math>a^2=b^2+c^2-2bc cos \alpha</math>
         
::<math>b^2=a^2+c^2-2ac cos \beta</math>

::<math>c^2=a^2+b^2-2ab cos \gamma</math>
Teorema  është përgithësim i teoremës së Pitagorës e cila vlen nëse trekëndëshi ka një kënd të drejtë nëse supozojmë se p.sh. këndi ''γ'' është i drejtë 90°= &pi;/2 radian atëherë cos(&gamma;) = 0, prandaj

: <math>c^2 = a^2 + b^2 \,</math>

Ky barazim paraqet teoremën e Pitagorës.

==Zbatimi==

[[Image:triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg|thumb|250px|right]]
Teorema përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit

*Në rast se janë dhënë tre brinjët e tij për gjetjen e këndeve

::<math>\,\gamma = \cos^{-1} \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,;</math>

*Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi në mes tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera

:<math>\,c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)}\,;</math>
::

*Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi përballë njërës prej tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera

::<math>\, a=b\cos(\gamma) \pm \sqrt{c^2 -b^2\sin^2(\gamma)}\,. </math>
Formulat nuk paraqiten teresisht ne kete forme

== Vërtetimi i teoremës ==

[[Image:Triangle-with-cosines.svg|thumb|right|250px]]

Lëshojmë lartësinë mbi brinjën ''c'' atëherë nga figura kemi

:<math>c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,.</math>

Nëse të njejtën gjë e përsërisim për lartësitë tjera atëherë kemi

:<math>b = c\cos(\alpha) + a\cos(\gamma)\,.</math>
:<math>c = a\cos(\beta) + b\cos(\alpha)\,.</math>

Barazimin e parë e shumëzojmë me ''c'' të dytin me ''b'' dhe të tretin me ''a'' atëherë fitojmë

:<math>c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,.</math>

:<math>a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,,</math>

:<math>b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,.</math>

I mbledhim dy barazimet e fundit atëherë kemi

:<math>a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,</math>.

Prej këtij barazimi e zbresim të parin atëherë fitojmë

:<math>a^2 + b^2 - c^2 = - ac\cos(\beta) - bc\cos(\alpha)+ ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,</math>

nga barazimi i fundit pas thjeshtimeve të mundshme fitojmë se

:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).\,</math>

[[Kategoria:Teorema]]
[[Kategoria:Trigonometri]]