Shihni burimin për Katrori i Binomit

Në algjebër elementare, '''teorema binom (ose zgjerimi binomial)''' përshkruan zgjerimin algjebrik të fuqive të një binomi. Sipas teoremës, është e mundur  të zgjerohet polinomi  (x + y) n në një shumë që përfshin termat e formës a xb yc, ku eksponentët b dhe c janë integers jo-negativë  me b + c = n dhe koeficienti a i çdo termi është një numër i plotë pozitiv në varësi të n dhe b. Për shembull:
:<math>(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4.</math>

Koeficienti a në termin e një xb yc njihet si koeficienti binomial <math>\tbinom nb</math> ose <math>\tbinom nc</math> (të dy kanë të njëjtën vlerë). Këta koeficientë për ndryshimin e {{math|''n''}} dhe {{math|''b''}} mund të rregullohen për të formuar trekëndëshin Pascal. Këto numra gjithashtu lindin në kombinatorikë, ku <math>\tbinom nb</math>  jep numrin e kombinimeve të ndryshme të elementëve b që mund të zgjidhen nga një element {{math|''n''}} i vendosur.

==Shembuj==
Shembulli më themelor i teoremës binomiale është formula për katrorin e x + y:
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.</math>
Koeficientët binom 1, 2, 1 që paraqiten në këtë zgjerim korrespondojnë me rreshtin e dytë të trekëndëshit Pascal. (Vini re se lartësia "1" e trekëndëshit konsiderohet të jetë rreshti 0, sipas konventës.) Koeficientët e fuqive më të larta të x + y korrespondojnë me rreshtat më të ulëta të trekëndëshit:

:<math>
\begin{align}
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}
</math>
Disa shpjegime në përgjithësi, për zgjerimin {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}}:
#fuqitë e  {{math|''x''}} fillojnë në {{mvar|n}} dhe ulen me 1 në çdo afat deri sa të arrijnë 0 (me {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}}, shpesh të pashkruar);
#fuqitë e {{math|''y''}} fillojnë në 0 dhe rritet për 1 derisa të arrijnë formën {{math|''n''}};
#rreshti i {{mvar|n}}-të  i trekëndëshit të Pascalit  do të jenë koeficientët e binomit të zgjeruar kur kushtet janë rregulluar në këtë mënyrë;
#numri i termave në zgjerimin para se  termat të kombinohen, është shuma e koeficientëve dhe është e barabartë me {{math|2<sup>''n''</sup>}}; dhe 
#do të ketë terma {{math | '' n '' + 1}} në shprehjen pas kombinimit të termave në zgjerim

[[Kategoria:Matematikë]]