Shihni burimin për Ekuacionet kuadratike

'''Ekuacioni kuadratik''' ose barazimi i shkallës së dytë në trajtën e përgjithshme shënohet me

:<math>ax^2+bx+c=0,\,\!</math>
x
ku ''a'' ≠ 0. Sepse nëse ''a'' = 0, atëherë ai është [[ekuacioni linear|ekuacion linear]].
 
Numrat real ''a'', ''b'', dhe ''c'' quhen koeficientë, ndërsa ''x'' është e panjohura e formules.

== Zgjidhjet ==
Ç'do vlerë e të panjohurës ''x'' e cila ekuacionin kuadratik e shndërron në gjykim të saktë quhet zgjidhje e ekuacionit. Në përgjithësi ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje të cilat quhen edhe rrënjë, në bashkësinë e numrave kompleks të cilat lehtë gjenden sipas të ashtuquajturës formula kuadratike :

:<math>\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math> ,

ku simboli "±" tregon se
:{|
|-
|<math>\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
| style="width:100px" align="center"| dhe
|<math>\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
|} X1=                                          dhe                        X2=

janë zgjidhjet.

== Diskriminanta dhe formulat e tyre ==
Shprehja që ndodhet nën shenjën e rrënjës katrore nga formula e mësipërme

:<math>D = b^2 - 4ac , \,\!</math>

quhet diskriminantë e ekuacionit kuadratik. Nga diskriminanta varet edhe natyra e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik kemi tre raste për shqyrtim :

* Nëse <math>D>0</math> atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të ndryshme reale.

:<math>\begin{align}
 x_1 &= \frac{-b + \sqrt {D}}{2a} \\
 x_2 &= \frac{-b - \sqrt {D}}{2a} \\
\end{align}</math>

* Nëse <math>D=0</math> atëherë ekuacioni ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

:<math> x = -\frac{b}{2a} . \,\!</math>

* Nëse <math>D<0</math> atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

:<math>\begin{align}
 x_1 &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}\end{align}</math> ku, <math>\begin{align}|D|\end{align}</math> është vlera absolute e diskriminantës dhe <math>i</math> është <math>\begin{align}{\sqrt {-1}}\end{align}</math>

:<math>\begin{align} x_2 &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}
\end{align}</math>

== Shembuj të ndryshëm ==
Ekuacioni <math>7x + 15 - 2x^2 =\ 0</math> e ka diskriminantën pozitive <math>D\ = 169</math> prandaj ai ka dy zgjidhje reale të ndryshme :

: <math>x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\cdot(-2)}= 5</math> dhe <math>x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\cdot(-2)} = -\frac{3}{2}.</math>

Ek<math>x_2 = \frac{-3 + \sqrt{3} i}{2}.</math>uacioni <math>x^2 -2x + 1 =\ 0</math> ka si diskriminantë <math>D\ =0</math> prandaj ai ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

:<math>x =-\frac{-2}{2}=1</math>

Ekuacioni <math>x^2 + 3 x + 3 =\ 0</math> nuk ka zgjidhje reale sepse <math>D\ = - 3 < 0</math> diskriminanta e tij është negative pra ky ekuacion ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

: <math>x_1 = \frac{-3 - \sqrt{3} i}{2}</math> dhe :